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By EMIL ARTIN

ISBN-10: 2876470896

ISBN-13: 9782876470897

Édition originale publiée sous le titre Geometric Algebra par Interscience Publishers en 1957.
Réimpression de los angeles traduction française publiée par Gauthier-Villars en 1962.

AVANT-PROPOS de Gaston JULIA

On sait depuis longtemps que l’Algèbre et los angeles Géométrie, en certains de leurs chapitres, ne sont que deux points différents d’une même vérité, en sorte que tout progrès de l’un amène un progrès de l’autre, et que l. a. présentation abstraite de l’Algèbre s’accompagne de représentations géométriques très suggestives ou d’applications géométriques fructueuses, qui, quelquefois, l’ont même précédée.

Le présent livre est un modèle de cette présentation combinée de l’Algèbre et de l. a. Géométrie, que nous estimons être de l. a. plus haute valeur éducative et de los angeles plus grande utilité dans l. a. recherche : c’est pourquoi nous avons été très heureux de l’accueillir dans notre assortment des « Cahiers scientifiques ».

Ce n’est pas un traité complet. On n’y traite que certains chapitres de l’Algèbre, dont l’importance pour l. a. Géométrie et pour l’histoire du développement des Mathématiques modernes, est pourtant fondamentale, et ressort de l’exposé même qu’on va lire.

La méthode de l’auteur est très suggestive. Qu’on lise en effet sa préface ; on y notera deux soucis : un souci de rigueur abstraite qui conviendra toujours à tout exposé d’Algèbre ; un souci d’éveiller des pictures géométriques comme representation et program des théorèmes algébriques étudiés. Notre opinion est que ce double souci devrait animer tout ouvrage de Mathématiques.

De son côté, M. Jean Dieudonné, l’éminent algébriste bien connu, exprimait récemment l’espoir que bientôt « le monde mathématique tout entier, et non seulement une poignée de spécialistes, soit mis en état d’apprécier l’ouvrage d’Artin et de le mettre à los angeles position qui lui revient, à côté des célèbres « Grundlagen der Geometrie » de Hilbert ». On ne saurait mieux dire.

====== desk des matières ======

Avant-propos
Préface
Suggestions pour le bon utilization de ce livre
Table des matières

Chapitre I — Notions préliminaires
    1. Notions de théorie des ensembles
    2. Théorèmes sur les espaces vectoriels
    3. Etude plus détaillées des homomorphismes
    4. Dualité et couplages
    5. Equations linéaires
    6. symptoms pour un exercice
    7. Notions de théorie des groupes
    8. Notions de théorie des corps
    9. Corps ordonnés
    10. Valuations

Chapitre II — Géométrie affine et géométrie projective
    1. Introduction ; les trois premiers axiomes
    2. Dilatations et translations
    3. building du corps
    4. advent de coordonnées
    5. Géométrei affine sur un corps de base donné
    6. Le théorème de Desargues
    7. Le théorème de Pappus et l. a. loi commutative
    8. Géométrie ordonnée
    9. issues harmoniques
    10. Le théorème fondamental de los angeles géométrie projective
    11. Le plan projectif

Chapitre III — Géométrie symplectique et géométrie orthogonale
    1. buildings métriques sur les espaces vectoriels
    2. Définitions des géométries orthogonale et symplectique
    3. features communs des géométries orthogonale et symplectique
    4. characteristics particuliers à l. a. géométrie orthogonale
    5. features particuliers à l. a. géométrie symplectique
    6. Géométrie sur les corps finis
    7. Géométrie sur les corps ordonnés. Le théorème de Sylvester

Chapitre IV — Le groupe linéaire général
    1. Déterminants non commutatifs
    2. l. a. constitution de GL_n(k)
    3. Espaces vectoriels sur les corps finis

Chapitre V — los angeles constitution du groupe symplectique et du groupe orthogonal
    1. constitution du groupe symplectique
    2. Le groupe orthogonal d’un espace euclidien
    3. Espaces elliptiques
    4. L’algèbre de Clifford
    5. l. a. norme spinorielle
    6. Les cas où dim V ⩽ 4
    7. los angeles constitution du groupe Ω(V)

Bibliographie et feedback pour des lectures complémentaires
Index

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Sample text

One can check that it does not depend on how we write E as e dn−2 x. We can think of it as a precise way to define the quantity Σ |E|. Recall that 3-dimensional BF theory with gauge group SU(2) or SO(3) is a formulation of Riemannian general relativity in 3 dimensions. In this case Σ is a curve, and the above quantity has a simple interpretation: it is the length of this curve. Similarly, in 4-dimensional BF theory with either of these gauge groups, Σ is a surface, and the above quantity can be interpreted as the area of this surface.

We then call them edges and call their endpoints vertices. Given a vertex v, we say an edge γi is outgoing from v if γi (0) = v, and we say γi is incoming to v if γi (1) = v. γi Suppose we fix a collection of paths γ1 , . . , γn that form a graph in S. We can think of the holonomies along these paths as elements of G. ,Te γn A ) for these particular paths γi form a subalgebra of Fun(A) that is isomorphic to the algebra of all continuous complex-valued functions on Gn . Given two functions in this subalgebra, we can thus define their inner product by Ψ, Φ = Gn ΨΦ 34 John C.

The space hom(π1 (S), G)/G is called the ‘moduli space of flat G-bundles over S’. g. when S is compact) this space is a real algebraic variety, and A0 /G is a subvariety. Usually A0 /G has singularities, but each component has an open dense set that is a smooth manifold. When we speak of T ∗ (A0 /G) above, we really mean the cotangent bundle of this open dense set, though again a more careful treatment would deal with the singularities. 32 John C. Baez We can describe A0 /G much more explicitly in particular cases.

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by Jeff
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